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$\begin{aligned} h(x) &={1\over\Gamma(-1/2)}\left[\left.2x(x-t)^{-1/2}\right|^x_0-\int_0^x2(x-t)^{-1/2}\right] \\ &={1\over\Gamma(-1/2)}\left[4(x-t)^{1/2}\right]^x_0 \\ &={- 4\sqrt{x}\over\Gamma(-1/2)}\quad\quad(\Gamma(-1/2)=-2\sqrt\pi)\\ &={-4\sqrt{x}\over-2\sqrt{\pi}}=2\sqrt{x\over\pi} \end{aligned}$

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$\begin{aligned} I^3[f]=I[I^2[f]] &=\int_a^x\int_a^yf(t)(t-y)\mathrm{d}t\mathrm{d}y \\ &\Rightarrow\int_a^xf(t)\int_x^t(t-y)\mathrm{d}y\mathrm{d}t \\ &=\int_a^xf(t)\left[-(t-y)^2\over 2\right]^t_x\mathrm{d}t \\ &=\int_a^xf(t)\left[0+{(t-x)^2\over2}\right]\mathrm{d}t \\ &={1\over2}\int_a^xf(t)(t-x)^2\mathrm{d}t \end{aligned}$

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$\begin{aligned} g(x)=I^{1/2}[f]&={1\over\Gamma(1/2)}\int_0^xf(t)(x-t)^{-1/2}\mathrm{d}t \\ &={1\over\Gamma(1/2)}\int_0^x(x-t)^{-1/2}\mathrm{d}t\quad\quad(f(x)=1) \\ &={1\over\Gamma(1/2)}\left[-2(x-t)^{1/2}\right]^x_0 \\ &={2\sqrt{x}\over\Gamma(1/2)} \end{aligned}$

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